이차함수 그래프 직선과의 교점의 개수를 구하는 데 갑자기 왜 판별식을 쓰는 지 알아보겠습니다.
그동안 우리가 배운 함수와 방정식의 개념이 연립방정식을 통해 판별식으로 연결됩니다.
아래는 함수, 방정식, 연립방정식에 대한 개요입니다.
이차함수 직선 위치관계
이차함수 그래프(포물선)과 직선(일차함수)과의 교점의 개수를 구할 때 간편하게 판별식을 씁니다. 교점은 교점이고 방정식의 해는 해인데 왜? 판별식을 쓰는 지 이유를 알아봅시다.
이차함수에서 판별식을 쓸 수 있는 이유
이차함수를 연립방정식으로 재해석
등치법 좌변이 y로 같으면 f(x) = g(x)로 우변도 같다로 놓으면
우변끼리 모으면 '2차식 = 1차식'으로 계산이 가능합니다.
차의 함수로 재해석(판별식을 쓰는 근거)
f(x) 값에서 g(x) 값을 뺀 것 자체를 새로운 함수로 보고 함수 자체를 입맛에 맞게 재편성합니다.
판별식이 되는 이유 자체가 2차항이 절대 변하지 않기 때문입니다.
위에서 본 '2차식 f(x) = 1차식 g(x)'을 '2차식 - 1차식 = 0'로 놓으면 결국 2차식
'이차함수 - 일차함수'는 결국 이차함수(y = 2차식)으로 놓을 수 있습니다.
여기서, 포물선과 직선의 교점의 x좌표가
재편성한 f(x) - g(x) 이차함수의 x절편과 일치합니다.
판별식의 결과
교점이 2개인 이유
f(x) - g(x)가 양수, 0(영), 음수 부분이 존재하기 때문입니다.
교점이 1개인 이유
f(x) - g(x)가 양수, 0(영) 부분이 존재하기 때문입니다.
교점이 0개인 이유
f(x) - g(x)가 음수 부분만 존재하기 때문입니다.
이차함수 그래프 직선과의 교점의 개수를 구하는 데 판별식을 왜 쓰는 지 알아보았습니다.
다음 시간에 또 새로운 주제로 찾아 뵙겠습니다.